Любую систему можно описывать локально и глобально.
Представим себе математический маятник.
Если отклонение маятника от вертикали обозначим через x(t) , то в локальной окрестности любого такого положения можно записать динамические уравнения движения
d2x/dt2 + sin x = 0, x(0) = x0 , x(0) = 0,
в безразмерных единицах. Это уравнение описывает локальное поведение маятника в (бесконечно малой) окрестности положения x(t).
Можно попытаться "склеить" подобные локальные описания для последовательных точек в надежде достичь понимания глобального поведения.
А вот альтернатива:
Согласно принципу Гамильтона-Якоби глобальное движение системы соответствует минимуму полной энергии системы. Вводя гамильтониан Н, видим, что движение системы должно быть таким, что
H(x, dx/dt) = (0,5)Ч(dx/dt)2 + 1 - cos x
достигает минимума. Это уравнение, очевидно, может быть сведено к уравнению движения маятника, приведенному выше. Другими словами, локальные уравнения движения могут быть получены как следствие глобального принципа, а не выведены на основе рассуждений локального характера и использования второго закона Ньютона. С концептуальной точки зрения такое различие является фундаментальным.
Представим себе математический маятник.
Если отклонение маятника от вертикали обозначим через x(t) , то в локальной окрестности любого такого положения можно записать динамические уравнения движения
d2x/dt2 + sin x = 0, x(0) = x0 , x(0) = 0,
в безразмерных единицах. Это уравнение описывает локальное поведение маятника в (бесконечно малой) окрестности положения x(t).
Можно попытаться "склеить" подобные локальные описания для последовательных точек в надежде достичь понимания глобального поведения.
А вот альтернатива:
Согласно принципу Гамильтона-Якоби глобальное движение системы соответствует минимуму полной энергии системы. Вводя гамильтониан Н, видим, что движение системы должно быть таким, что
H(x, dx/dt) = (0,5)Ч(dx/dt)2 + 1 - cos x
достигает минимума. Это уравнение, очевидно, может быть сведено к уравнению движения маятника, приведенному выше. Другими словами, локальные уравнения движения могут быть получены как следствие глобального принципа, а не выведены на основе рассуждений локального характера и использования второго закона Ньютона. С концептуальной точки зрения такое различие является фундаментальным.